「2010」を使った数学の問題 - math, programming, and little something to laugh

毎年数学オリンピックなんかでは、その年の数字を使った問題が出題されたりします。
Twitterでのwand125さんのPostがすべての発端でした。

この元凶Postにいろいろと反応があったようなので、少しまとめて紹介しようと思います。

軽いジャブ。以下のような変形で解くことができます。

答え : 2010桁目→0, 2011桁目→1

完全に何桁か確定させるのは至難だと思います。
一番基本的なアプローチはlogで上限と下限をある程度決定する方法ですね。

log10_67が非常に曲者で、ここは何らかの近似を用いる必要があるでしょう。

また、logによる分解でない近似を使った、以下のような方法もあります。

これにより、少なくとも6633桁はあることがわかります。いろんなアプローチがあるのでやってみてください。
~~ぶっちゃけやるのが面倒。できたらコメントで教えてください~~

答え : 6640桁

フィボナッチ数列は最初の2項が1,1ですが、題意を満たすような2項を考えなさいという問題です。

答え : a_1 = 18, a_2 = 48

ちなみに、「単調増加」という条件を削除した場合、a_1 = 30, a_2 = 18 となります。a_3 = 48となるので、元の数列が1つずれた形の答えになります。

Q3の派生。Q3よりめんどくさい感じがしますね。どうやって解けばいいのこれ？ｗ<2010/01/12追記>
@uwitenpen さんがActionScript3で答えを出してくれました。
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答え : 1553通り

空でない S⊂{1,2,...,2010} に対して ΣS を S の要素の総和とする。
S が次の条件を満たす集合全体を動くとき，ΣS を最大にするものをそれぞれ求めよ。
(1) 相異なるどの二つの要素も互いに素
(2) どの要素も他の要素の倍数にならない

パッと見、(1)は1と素数全部かなぁ、という気がしましたが、たぶん違うんだろうなぁ。
(2)も素数と関係があるように思えますが、(1)と違って1は含めることができないですね。・・・1006から2010まで全て、かな？

2010!を22!で何回割ることができるか。

22!を素因子分解すると、
2×19, 3×9, 5×4, 7×3, 11×2, 13, 17, 19
となります。
2010!はこれらの因子を何個持っているか？ということですね。

僕はプログラムで答えを出して見ましたが、答えがあまりにきれいで驚きました。代数的にスマートに解けたらカッコイイ！

答え : 99回

問題・解法は随時教えられれば更新しますので、コメントかTwitterで@aomoriringoまでお願いします。