一般化してみよう

以前「曲線で遊ぼう1」という記事で下のような関数を作りました。

階段を登っていくような関数です。
これはまだ改良しがいがあるみたいなので、どんどん一般化させてみようと思います。
まずは手始めにこの式の作り方を書きます。

まずは(0,0)と(1,1)を通り、(a,2)を頂点とするような2次関数を求めます。

んで、ここで床関数なるものを使います。高校ではガウス関数という名前で習うかと思います。
これを頂点の座標にあたる部分に挿入することで、階段のような動きをします。

で、こうなるわけです。

さて、今は(0,0)と(1,1)を通るような(a,2)を頂点とするような、という前提から始めましたが、この頂点を(a,k)としてみたらどうでしょうか。
つまり階段のはね具合を調整できるというわけですね。
というわけで、また同じように数式を組み立てます。

kだらけ。
で、グラフにするとこういうことになります。
k=5の場合。

では次は、(0,0)と(m,n)を通り、(a,k)を頂点とするような2次関数にしてみようとなるわけですよ。

これはひどい。計算中にくじけそうになりました。

で、また床関数をいれるんですが、(1,1)ではなく(m,n)ごとにするためにちょっといじらないといけません。
で、以下のようになりました。

2乗の項の中の床関数もm/n倍しなければいけないことに気をつけましょう。これにきづかなくて1時間無駄にしてしまった。

階段のはね具合を線形でなく2次関数に沿うように、などもやればできるかもしれませんが、変数が既にかなり多いので今日はこれでおしまい。
シンプルな数学の公式がいかに美しいかわかりますね。